اهداف آموزش

ساخت وبلاگ

اکنون که ما مدتی را صرف آشنایی با رفتار چنین سیستمهایی کردیم که مسیرهای آنها (1) کاملاً قابل پیش بینی و تعیین کننده باشد ، یا (2) که توسط فرآیندهای تصادفی اداره می شود ، زمان آن رسیده است که در نظر بگیریم که هیچ یک برای توصیف علوم اعصاب کافی نیست. درعوض ، ما اغلب با فرایندهایی روبرو هستیم که برخی از پویایی ها را می دانیم ، اما جنبه های تصادفی نیز وجود دارد. ما این سیستم های دینامیکی را با تصادفی می نامیم.

این آموزش بر دانش ما بنا شده و شهود را برای چگونگی فرآیندهای قطعی و تصادفی می تواند هر دو توسط یک سیستم دینامیکی توسط:

شبیه سازی پیاده روی های تصادفی

بررسی میانگین و واریانس یک فرآیند Ostein-Uhlenbeck (OU)

کمیت رفتار فرآیند OU در تعادل.

اسلایدهای آموزش

این اسلایدها برای فیلم ها در تمام آموزش های امروز است

برپایی¶

تنظیمات شکل ¶

توابع ترسیم

بخش 1: پیاده روی های تصادفی

فیلم 1: E.coli و پیاده روی های تصادفی

برای شروع ، ابتدا می خواهیم که چگونه زندگی گاهی اوقات بی هدف سرگردان می شود. یکی از ساده ترین و بهترین سیستم های زندگی که دارای رفتارهای جالب است ، باکتری E.coli است که قادر به پیمایش شیب های بو بر روی یک بستر برای جستجوی منبع غذایی است. زندگی بزرگتر (از جمله مگس ها ، سگ ها و انسانهای چشم بسته) گاهی اوقات از همان راهکارها برای هدایت تصمیمات خود استفاده می کنند.

در اینجا ، ما در نظر خواهیم گرفت که E.coli در صورت عدم وجود بوی مواد غذایی انجام می دهد. بهترین استراتژی وقتی کسی نمی داند به کجا برود چیست؟چرا ، به طور تصادفی در اطراف ، البته!

پیاده روی تصادفی دقیقاً همین است - در هر مرحله از زمان ، از یک فرآیند تصادفی مانند چرخش یک سکه استفاده کنید تا بر این اساس عنوان شخص را تغییر دهید. توجه داشته باشید که این فرایند از نزدیک با حرکت براون در ارتباط است ، بنابراین ممکن است گاهی اوقات آن اصطلاحات مورد استفاده را نیز بشنوید.

بیایید با یک پیاده روی تصادفی یک بعدی شروع کنیم. یک باکتری از (x = 0 ) شروع می شود. در هر مرحله ، یک سکه (یک سکه بسیار کوچک و میکروسکوپی پروتئین نعناع) می چرخد ، سپس به سمت چپ ( delta x = -1 ) یا راست ( delta x = +1 ) با احتمال برابربشربه عنوان مثال ، اگر در مرحله زمان (1 ) نتیجه سکه به راست بروید ، موقعیت آن در آن مرحله زمان می شود (x_1 = x_0 + delta x = 1. ) به این روش ادامه می یابد ،موقعیت آن در مرحله زمانی (K+1 ) توسط

ما این فرآیند را در زیر شبیه سازی خواهیم کرد و موقعیت باکتری را به عنوان تابعی از مرحله زمان ترسیم می کنیم.

برای شبیه سازی یک پیاده روی تصادفی اجرا کنید

../../../_images/W2D2_Tutorial3_19_0.png

برنامه نویسی تمرین 1A: شبیه سازی پیاده روی تصادفی¶ ¶

در فیلم به عنوان تمرین 3A گفته می شود

در طرح قبلی، ما فرض کردیم که باکتری در هر نقطه از زمان یک گام به اندازه (1) برمی دارد. اجازه دهید قدم هایی با اندازه های مختلف بردارد!

ما یک پیاده‌روی تصادفی را کد می‌کنیم که در آن مراحل دارای توزیع نرمال استاندارد (با میانگین (mu) و انحراف استاندارد (sigma) هستند). به جای اجرای یک مسیر در یک زمان، کد خود را می نویسیم تا بتوانیم تعداد زیادی از مسیرها را به طور موثر شبیه سازی کنیم. ما همه اینها را در یک تابع random_walk_simulator ترکیب می‌کنیم که (N) پیاده‌روی‌های تصادفی را با نقاط زمانی (T) به طور موثر ایجاد می‌کند.

ما 10 پیاده روی تصادفی را برای 10000 گام زمانی ترسیم خواهیم کرد.

Solution hint

می بینیم که همه مسیرها کمی متفاوت از یکدیگر به نظر می رسند. اما برخی از مشاهدات کلی وجود دارد که می توان انجام داد: در ابتدا تقریباً همه مسیرها بسیار نزدیک به (x=0) هستند، جایی که باکتری ما از آنجا شروع شد. با گذشت زمان، برخی از مسیرها از نقطه شروع دورتر و دورتر می شوند. با این حال، بسیاری از مسیرها نزدیک به نقطه شروع (x=0) هستند.

حال بیایید در سلول بعدی به توزیع موقعیت باکتری ها در مقاطع مختلف زمانی نگاهی بیندازیم و تمام مسیرهایی را که در بالا ایجاد کردیم، تجزیه و تحلیل کنیم.

برای تجسم توزیع موقعیت باکتری ها اجرا کنید

در ابتدای شبیه سازی، توزیع موقعیت ها به شدت در حدود (0) به اوج می رسد. با گذشت زمان، توزیع گسترده تر می شود اما مرکز آن به (0) نزدیک تر می شود. به عبارت دیگر، میانگین توزیع مستقل از زمان است، اما واریانس و انحراف معیار مقیاس توزیع با زمان است. چنین فرآیندی فرآیند انتشار نامیده می شود.

تمرین کدگذاری 1B: میانگین و واریانس پیاده روی تصادفی¶

میانگین و واریانس راه رفتن تصادفی باکتری ما را به عنوان تابعی از زمان محاسبه و رسم کنید.

Solution hint

مقدار مورد انتظار (x) نزدیک به 0 باقی می ماند، حتی برای پیاده روی تصادفی برای مدت زمان بسیار طولانی. سرد!

واریانس، از سوی دیگر، به وضوح با گذشت زمان افزایش می یابد. در واقع به نظر می رسد که واریانس با گذشت زمان به صورت خطی افزایش می یابد!

نسخه نمایشی تعاملی 1: تأثیر انتخاب پارامتر¶

چگونه پارامترهای (mu) و (sigma) توزیع گاوسی که مراحل را از آن انتخاب می‌کنیم بر میانگین و واریانس راه رفتن تصادفی باکتری تأثیر می‌گذارند؟

مطمئن شوید که این سلول را برای فعال کردن ویجت اجرا کرده اید!

بخش 2: فرآیند Ostein-Uhlenbeck (OU)¶

زمان تخمینی تا اینجا از شروع آموزش: 14 دقیقه

ویدئو 2: ترکیب فرآیندهای قطعی و تصادفی¶

فرآیند پیاده روی تصادفی که ما فقط کاوش کردیم پراکنده است و توزیع مسیرهای احتمالی گسترش می یابد و باعث افزایش واریانس با زمان می شود. با این وجود ، حداقل در یک بعد ، میانگین نزدیک به مقدار اولیه است (در مثال بالا ، 0).

هدف ما اکنون ساختن این مدل برای ساختن یک مدل Dift-Diffusion (DDM) است. DDM یک الگوی محبوب برای حافظه است ، که همانطور که همه ما می دانیم ، اغلب یک تمرین برای حلق آویز به یک ارزش ناقص است. تصمیم گیری و حافظه موضوع فردا خواهد بود ، بنابراین در اینجا ما پایه های ریاضی را می سازیم و شهود را برای نحوه رفتار چنین سیستم ها ایجاد می کنیم!

برای ساختن چنین مدلی ، بیایید مدل پیاده روی تصادفی را با اولین معادلات دیفرانسیل که قبلاً در آموزش 1 کاوش کردیم ، ترکیب کنیم. اگرچه این مدل ها در زمان مداوم به عنوان ( dot = a x ) نوشته شده بودند ، در اینجا اجازه می دهیم نسخه گسسته همان سیستم را در نظر بگیریم و بنویسیم:

راه حل آن را می توان به صورت

(x_k = x_0 lambda^k ) ،

جایی که (x_0 ) مقدار (x ) در زمان (t = 0 ) است.

اکنون ، بیایید راه حل نسخه گسسته اولین معادله دیفرانسیل ما را از آموزش 1 در زیر شبیه سازی و ترسیم کنیم. کد زیر را اجرا کنید.

../../../_images/W2D2_Tutorial3_41_0.png

توجه کنید که این روند به سمت موقعیت (x = 0 ) پوسیده می شود. ما می توانیم با اضافه کردن پارامتر دیگر (x_ Infty ) ، آن را به سمت هر موقعیتی پوسیده کنیم. میزان پوسیدگی متناسب با تفاوت بین (x ) و (x_ infty ) است. سیستم جدید ما است

ما باید راه حل تحلیلی خود را کمی اصلاح کنیم تا این موضوع را در نظر بگیریم:

بیایید پویایی این روند را در زیر شبیه سازی و ترسیم کنیم. امیدوارم ، می بینیم که از (x_0 ) شروع می شود و به سمت (x_) پوسیده می شود<infty>.)

../../../_images/W2D2_Tutorial3_43_0.png

اکنون ما آماده هستیم تا از این معادله تفاوت اساسی و قطعی استفاده کنیم و یک فرآیند انتشار را در بالای آن اضافه کنیم! اوقات سرگرم کننده در سرزمین پایتون.

به عنوان یک نقطه از اصطلاحات: این نوع فرآیند معمولاً به عنوان یک مدل diffusion یا فرآیند Ostein-Uhlenbeck (OU) شناخته می شود. مدل ترکیبی از یک اصطلاح رانش به سمت (x_) است<infty>) و یک اصطلاح انتشار که به طور تصادفی قدم می زند. ممکن است بعضی اوقات آنها را به عنوان معادلات دیفرانسیل تصادفی مداوم نوشته کنید ، اما در اینجا ما نسخه گسسته را برای حفظ استمرار در آموزش انجام می دهیم. نسخه گسسته فرآیند OU ما فرم زیر را دارد:

جایی که ( eta ) از توزیع عادی استاندارد ( ( mu = 0 ، sigma = 1 ) نمونه برداری می شود).

برنامه نویسی تمرین 2: مدل Drift-Diffusion چگونه

کد زیر را اصلاح کنید تا هر قدم در طول زمان یک قسمت قطعی داشته باشد (اشاره: دقیقاً مانند کد فوق) به علاوه یک قسمت تصادفی و پراکنده که از یک توزیع عادی با انحراف استاندارد ( sigma ) گرفته می شود (SIG درکد). این دینامیک این روند را ترسیم می کند.

Solution hint

فکر! 2: مشاهدات شبیه سازی Drift-Diffusion دیده

رفتار شبیه سازی خود را با انجام برخی مشاهدات شرح دهید. چگونه با راه حل قطعی مقایسه می شود؟چگونه در ابتدای تحریک رفتار می کند؟در پایان؟

بخش 3: واریانس فرآیند OU

زمان تخمین زده شده از اینجا از ابتدای آموزش: 35 دقیقه

فیلم 3: تعادل واریانس

همانطور که می بینیم ، میانگین فرایند راه حل قسمت قطعی معادله حاکم را دنبال می کند. تا اینجای کار خیلی خوبه!

اما در مورد واریانس چطور؟

بر خلاف پیاده روی تصادفی ، زیرا یک فرآیند پوسیدگی وجود دارد که " (x ) را به سمت (x_ infty ) باز می گرداند ، واریانس بدون محدودیت با بزرگ (t ) رشد نمی کند. در عوض ، هنگامی که از (x_ infty ) دور شود ، موقعیت (x ) ترمیم می شود ، تا رسیدن به تعادل.

واریانس تعادل برای سیستم Drift-Diffusion ما است

توجه کنید که مقدار این واریانس تعادل به ( lambda ) و ( sigma ) بستگی دارد. این بستگی به (x_0 ) و (x_ Infty ) ندارد.

برای متقاعد کردن خودمان که همه چیز به طور معقول رفتار می کند ، اجازه دهید واریانس تجربی محلول تعادل را با معادلات OU با فرمول مورد انتظار مقایسه کنیم.

برنامه نویسی تمرین 3: محاسبه واریانس ها به صورت تجربی

برای محاسبه واریانس تحلیلی کد بنویسید: ( text = frac ) ، و در برابر واریانس های تجربی (که قبلاً با استفاده از عملکرد یاور برای شما فراهم شده است) مقایسه کنید. باید ببینید که آنها باید تقریباً با یکدیگر برابر باشند و نزدیک به خط 45 درجه ( (y = x )) باشند.

Solution hint

خلاصه¶

زمان تخمینی آموزش: 45 دقیقه

در این آموزش ، ما سیستم های OU را ساخته و مشاهده کرده ایم که دارای قطعات قطعی و تصادفی هستند. ما می بینیم که آنها به طور متوسط مشابه انتظارات ما از تجزیه و تحلیل سیستم های دینامیکی قطعی رفتار می کنند.

مهمتر اینکه ، تعامل بین قطعات قطعی و تصادفی به تعادل تمایل فرآیندهای کاملاً تصادفی (مانند پیاده روی تصادفی) برای افزایش واریانس در طول زمان عمل می کند. این رفتار یکی از خصوصیات سیستم های OU است که باعث می شود گزینه های محبوب برای مدل سازی عملکردهای شناختی ، از جمله حافظه کوتاه مدت و تصمیم گیری باشد.

تجارت با گزینه‌‌های باینری...
ما را در سایت تجارت با گزینه‌‌های باینری دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : نازنین فراهانی بازدید : 40 تاريخ : چهارشنبه 17 خرداد 1402 ساعت: 1:20