تأثیر لغزش بین سطحی در مزارع نزدیک به یک شکاف رابط بین الاستومر نرم و یک بستر سفت و سخت

ما نقش لغزش بین سطحی را در زمینه های تغییر شکل و استرس در نزدیکی نوک یک ترک رابط هواپیما که بین یک ماده هیپرالاستیک قابل فشرده سازی و یک بستر سفت و سخت اتفاق می افتد ، در نظر می گیریم. به طور خاص ، ما با انجام تجزیه و تحلیل های بدون علامت مربوطه در منطقه ترک شکاف ، بین دو مورد محدود "بدون لغزش" (بدون اصطکاک بالا "(بی نهایت بالا) و" بدون اصطکاک "(اصطکاک صفر) مقایسه می کنیم. نتایج ما نشان می دهد که برای مورد بدون لغزش ، هنگامی که بدن در معرض بارگذاری دور مزارع قرار می گیرد ، ترک شکل به شکل گوه مطابق با مشاهدات تجربی گزارش شده در ادبیات تغییر شکل می یابد. علاوه بر این ، در این حالت ، زاویه گوه نشان داده شده است که به طور مستقیم با نسبت اجزای مختلف استرس کوشی در سطح پیوند شده در منطقه نزدیک به مسیر مرتبط است. شبیه سازی های عنصر محدود نشان می دهد که زاویه گوه نیز به تراکم پذیری مواد و شرایط بارگذاری دور بستگی دارد. در مقابل ، تجزیه و تحلیل مورد بدون اصطکاک نشان می دهد که ترک به طور مداوم با یک زاویه گوه راست و میدان استرس نزدیک به استرس طبیعی در سطح ، به شکل پارابولیک صاف باز می شود. نتایج تعیین شده در اینجا می تواند به عنوان پایه ای برای درک نقش درجات مختلف لغزش بر روی ترک های سطحی مورد استفاده قرار گیرد.

1. معرفی

الاستومرهای نرم به طور گسترده ای در پوشش ها و چسب های غیر ساختاری مانند چسب های حساس به فشار استفاده می شوند. قدرت پیوند کلی بین یک لایه الاستومر نرم و یک بستر نسبتاً سفت و سخت در درجه اول با کار ذاتی چسبندگی تعریف می شود که به عنوان میزان کار مورد نیاز برای جدا کردن یک منطقه واحد تماس با سطوح تعریف می شود. مطالعات در سالهای اخیر نشان داده است که قدرت چسب های نرم می تواند به طور قابل توجهی تحت تأثیر سایر عوامل ، از جمله زبری سطح [1-3] ، ویسکوالاستیک [4،5] و لغزش بین سطحی باشد [6-8]. تأثیر لغزش سطحی دو برابر است. اول ، هنگامی که لایه چسب از یک بستر جدا می شود ، به دلیل اصطکاک کافی که منجر به اتلاف انرژی در رابط می شود ، می تواند لغزش جزئی رخ دهد [7،8]. جنبه دوم مبتنی بر مشاهدات تجربی Newby و همکاران بود.[6] با این نتیجه گیری که لغزش همچنین می تواند بر اتلاف ویسکوالاستیک در مواد چسب فله در حین جدا شدن تأثیر بگذارد. Newby و همکاران.[6] تست های پوستی از نوارهای چسب را از سطوح سیلیکون پوشیده شده با مولکول های آلی انجام داد تا خاصیت سطح را تغییر دهد (شکل 1 A). مشخص شد که نیروی پوست در سطوح با کار کمتری از چسبندگی ، اما مقاومت در برابر لغزش بالاتر است. برای درک این نتیجه ، آنها دریافتند که در حین جدا شدن بر روی سطوح با لغزش کم ، مواد چسب در پشت لبه دفع شده به جلو می چرخند و یک گوه را در نوک ترک سطحی تشکیل می دهند (همانطور که در شکل 1 B نشان داده شده است). بر اساس استدلال های مقیاس گذاری ، زاویه گوه seped به لغزش و اتلاف چسبناک در مواد چسب مربوط می شود: هرچه لغزش پایین تر ، زاویه کوچکتر باشد ، که منجر به اتلاف بزرگتر و از این رو نیروی پوستر بزرگتر می شود. به طور خاص ، رابطه بین زاویه گوه ϕ و کشش برشی سطحی ناشی از لغزش بر اساس یک مدل خام بود و فقط در مورد کوچک قابل استفاده بود. از دیدگاه مکانیک جامد ، لغزش به کشش برشی در رابط بستگی دارد و بنابراین می توان به عنوان یک شرایط مرزی برای تغییر شکل چسب نرم مشاهده کرد. تمرکز این مقاله ارائه تجزیه و تحلیل دقیق تر و دقیق تر در مورد چگونگی تأثیر لغزش بر تغییر شکل محلی مواد چسب در نزدیکی لبه دفع بود.

شکل 1. طرحواره های آزمایش قبل و بعد از پوست پلیمری که به بسترهای مختلف پیوند خورده است.(الف) ترک رابط تخلیه شده و (ب) پس از بارگذاری.

برای مدل سازی فرآیند جدا شدن ، ما یک ترک رابط هواپیما و فشار را بین یک ماده نرم و یک بستر سفت و سخت در نظر می گیریم (شکل 2). جدا شدن هنگامی اتفاق می افتد که ترک رابط باز شود و در زیر بارهای دور مزارع به جلو پخش شود. به دنبال Newby و همکاران.[6] ، فرض می شود که ماده نرم الاستیک است حتی اگر بیشتر چسب های نرم ذاتاً ویسکوالاستیک باشند. ما نگران میدان تغییر شکل محلی در نزدیکی لبه debonding (یا نوک ترک رابط) هستیم. در نتیجه ، طول ترک به صورت نامتناهی گرفته می شود. چندین حجم ادبیات مربوط به زمینه های نزدیک به ترک های رابط بین مواد جامد الاستیک متفاوت وجود دارد. آثار اولیه در این زمینه برای توصیف تغییر شکل مواد جامد [9-12] ، کشش خطی را اتخاذ کرده است ، اما این تکین های نوسان کننده گزارش شده برای زمینه های جابجایی نزدیک و استرس که می تواند منجر به تداخل سطوح ترک شود. این نوسانات غیر فیزیکی در نظر گرفته شد [13]. برای مورد خاص ترک های رابط هواپیما و کرنش بین یک ماده الاستیک و یک بستر سفت و سخت ، اگر ماده الاستیک غیرقابل استفاده باشد اما در غیر این صورت ادامه می یابد ، رفتار نوسان کننده جابجایی و استرس نزدیک ناپدید می شود [14]. از طرف دیگر ، هوی و همکاران.[15] نشان داد که ترک های موجود در مواد نرم می توانند قبل از انتشار به دلیل توانایی مواد نرم برای ایجاد تغییر شکل بزرگ بدون شکستگی ، که نیاز به در نظر گرفتن غیرخطی های هندسی و مادی در نظر گرفته می شود ، مبهم شوند. تلاش ها به تجزیه و تحلیل راه حل های نزدیک به نوک در چارچوب الاستوستاتیک کرنش محدود برای هر دو ترک در مواد جامد همگن [16-23] یا ترک های رابط بین مواد متفاوت اختصاص یافته است [24-28]. در بین این آثار ، هرمان [25،26] نشان داد که برای ترک های رابط بین دو ماده هیپرالاستیک قابل فشرده سازی ، جابجایی کرک و استرس توسط تکون های صاف و بدون نوسان مشخص می شود ، در حالی که رفتار نوسان هنوز هم می تواند وجود داشته باشد همانطور که مطرح می شود. توسط شبیه سازی های عنصر محدود کریشنان و هوی [29]. هر دو این نتایج برخلاف راه حل های کشش خطی است. در این مقاله ، ما یک کلاس از مدل های مواد فشرده شده فشرده سازی را اتخاذ می کنیم تا تغییر شکل بالقوه بزرگ چسب های نرم را به خود اختصاص دهیم.

شکل 2. پیکربندی نامشخص از ترک رابط هواپیما و فشار بین یک الاستومر نرم بی نهایت و یک بستر سفت و سخت.

به عنوان اولین گام برای درک نقش لغزش ، ما دو مورد محدود کننده (تعریف شده به عنوان "بدون لغزش" و "بدون اصطکاک") را فرض می کنیم و تجزیه و تحلیل بدون علامت را برای زمینه های مربوط به کرک مربوطه انجام می دهیم. شرط "بدون لغزش" به این معنی است که اصطکاک می تواند بی نهایت بزرگ باشد ، به طوری که هیچ لغزشی نسبی در رابط رخ نمی دهد. با شرایط "بدون اصطکاک" ، فرض بر این است که لایه الاستومر نرم می تواند در حالی که به سطح پیوند خورده متصل می شود ، آزادانه روی بستر بکشید. مقایسه این دو مورد می تواند تأثیر لغزش را در زمینه های نزدیک به ترک رابط نشان دهد.

مقاله بصورت زیر مرتب شده است. در §2 ، ما ابتدا الاستوستاتیک کرنش محدود را برای هندسه های هواپیما و راننده بررسی می کنیم و سپس معادلات حاکم و شرایط مرزی را برای ترک رابط تنظیم می کنیم. راه حل های بدون علامت در §3 برای هر دو شرایط بدون لغزش و بدون اصطکاک ارائه می شود. این راه حل ها ، همراه با نتایج شبیه سازی عناصر محدود ، در §4 مورد بحث قرار گرفته است. سپس مقاله را در §5 با پیشنهاداتی برای تحقیقات آینده نتیجه می گیریم.

2. میدان نزدیک به ترک یک رابط

(الف) الاستوستاتیک کرنش هواپیما

ما با توصیف سینماتیک تغییر شکل محدود به دنبال نمادهای استاندارد شروع می کنیم [30،31]. از پیکربندی نامشخص یک جامد به عنوان پیکربندی مرجع استفاده می شود ، و بردار موقعیت یک نقطه ماده در پیکربندی تغییر شکل X (با پایه E ^ i ، I = 1،2،3) مجموع همتای آن در نامشخص استپیکربندی x (با پایه e ^ a ، a = 1،2،3) و بردار جابجایی حاصل از u:

تغییر شکل مواد توسط شیب تغییر شکل (F) اندازه گیری می شود ، یک نقشه برداری تانسور از پیکربندی مرجع به تنظیمات تغییر شکل یافته و به عنوان تعریف شده است

کنوانسیون جمع بندی انیشتین [30،31] جمع بندی شاخص های مکرر در طول مقاله اتخاذ شده است. تعیین کننده F تغییر حجم ناشی از تغییر شکل ، یعنی.

جایی که V حجم مواد تغییر شکل و V است₀حجم اصلی مواد ناهماهنگ اصلی است. برای یک جامد هیپرالاستیک ایزوتروپیک ، اولین تنش استرس Piol a-Kirchoff توسط

در اینجا ، ψ چگالی انرژی کرنش جامد است ، که تابعی از سه متغیر اصلی من است_من(i = 1،2،3) از تانسور Cauch y-Green راست C [30-33] تعریف شده

اگر ماده در تعادل استاتیک باشد و از نیروهای بدن استفاده نشده باشد ، تنش استرس معادله تعادل زیر را برآورده می کند

در هواپیم ا-کرنش ، جابجایی U و از این رو موقعیت تغییر شکل یافته x فقط توابع اجزای مسطح مرجع x است₁و x₂و جابجایی خارج از هواپیما شما₃فرض بر این است که صفر است [17]. در نتیجه ، مؤلفه های Tensor Cauch y-Green راست C با توجه به مبنای e ^ a تبدیل می شود

سه متغیر اصلی من_من(i = 1،2،3) از C می تواند از نظر دو متغیر مسطح I و J بیان شده در معادلات (2. 8) و (2. 3) به ترتیب ، به عنوان [17] بیان شود.

اولی را می توان از تعاریف I و J بدست آورد و دومی تضمین می کند که حجم مواد در پیکربندی تغییر شکل ناپدید نشود.

(ب) ترک رابط: معادلات حاکم و شرایط مرزی

ما به زمینه های تغییر شکل و استرس در نزدیکی نوک یک رابط هواپیم ا-کرنش بین یک ماده الاستیک نرم و یک بستر سفت و سخت علاقه مند هستیم. هندسه نامشخص در شکل 2 با ماده الاستیک نشان داده شده به عنوان قسمت خاکستری در بالای ناحیه جوجه ریزی شده که نشان دهنده بستر سفت و سخت است نشان داده شده است. به منظور تجزیه و تحلیل بدون علامت ، ما فرض کرده ایم که ترک رابط بی نهایت طولانی است و همزمان با x منفی است₁محور تعیین شده در شکل 2 توسط یک خط متراکم ، با نوک ترک واقع در مبدا. فرض بر این است که ماده الاستیک از وسعت نامحدودی است که کل هواپیمای نیمه بالای x را اشغال می کند₁محور.

هنگامی که یک بارگذاری خاص از میدان به مواد الاستیک اعمال می شود ، ترک رابط باز می شود. برای حل میدان تغییر شکل در مجاورت نوک ترک ، استفاده از مجموعه ای از مختصات قطبی r و θ مناسب است (به جای x₁و x₂) همچنین در نوک ترک قرار دارد. این دارای تحول (A = 1،2) است:

با استفاده از مختصات قطبی R و θ ، اجزای شیب تغییر شکل مسطح را می توان به صورت (I = 1،2 و A = 1،2) بیان کرد

ما فرض می کنیم که ترک رابط برای تغییر شکل به صورت شبه استاتیک پس از بارگذاری و غفلت از نیروهای بدن. اولین استرس Piol a-Kirchoff باید معادلات تعادل را از معادله (2. 13) برآورده کند که در مختصات قطبی تبدیل می شوند

معادلات (2. 21a) و (2. 21b) زمینه تغییر شکل در نزدیکی نوک ترک را حاکم می کنند. شرایط مرزی بر روی سطح ترک (θ = π) و رابط قبل از نوک ترک (θ = 0) تجویز می شود. سطح ترک فرض می شود مانند تجزیه و تحلیل های قبلی [17،18،25] ، که منجر به کشش می شود

لازم به ذکر است که ما از تأثیر تنش سطحی که بر روی سطح ترک عمل می کند غفلت کرده ایم. برای یک الاستومر معمولی با تنش سطحی از ترتیب 0. 01 N M-1 و مدول Young از ترتیب 1 MPa ، می توان یک طول الاستو-قارچی مشخصه را در حدود 10 نانومتر استخراج کرد ، که به عنوان نسبت بین تنش سطح و Young تعریف شده است. مدولاین طول چندین مرتبه از اندازه کوچکتر از مقیاس معمولی تغییر شکل ترک مشاهده شده در آزمایشات است [6] ، به این معنی که تنش سطح در مشکل ما ناچیز است و تغییر شکل ترک در درجه اول توسط بارگذاری میدان دور و کشش فله کنترل می شود.

مستقیماً جلوتر از نوک ترک (جایی که θ = 0) ، ماده الاستیک به بستر سفت و سخت پیوند می یابد و ما هیچ جداسازی طبیعی را در طول رابط پس از تغییر شکل فرض نمی کنیم. در نتیجه،

علاوه بر این ، همانطور که توسط Newby و همکاران نشان داده شده است.[6،7] ، ممکن است لغزش نسبی در طول جهت مماس رابط وجود داشته باشد. چگونگی تأثیر لغزش بر میدان تغییر شکل کرک ، تمرکز این مقاله است. همانطور که قبلاً مورد بحث قرار گرفت ، ما دو مورد محدود کننده را در نظر می گیریم: "بدون لغزش" که در آن اصطکاک رابط می تواند بی نهایت بزرگ باشد و لغزش نسبی ممنوع است ، و "بدون اصطکاک" که در آن رابط امکان لغزش رایگان را فراهم می کند. مطمئناً ، یک مدل واقع بینانه تر می تواند جایی بین این دو مورد محدود کننده توصیف لغزش محدود باشد. این موضوع مقاله آینده خواهد بود. در مورد بدون لغزش ، با تعریف ما

در مورد بدون اصطکاک ، کشش برشی روی رابط قبل از نوک ترک صفر است ، به طوری

با استفاده از معادله (2. 23) ، می فهمیم که اصطلاح دوم در معادله (2. 25) از بین می رود و شرط مرزی برای پرونده بدون اصطکاک می شود

لازم به ذکر است که دو شرط مرزی در معادلات (2. 23) و (2. 26) برای مورد بدون اصطکاک با شرایط تقارن یک حالت I در یک ماده همگن یکسان است [20،21]. در این حالت ، زمینه های نزدیک به شکاف برای ترک رابط باید همان مواردی باشد که برای یک حالت من ترک می شود اما فقط در نیمه صفحه فوقانی است.

(ج) مدل مواد

برای حل مسئله مطرح شده در §2 B ، با انتخاب یک مدل مناسب برای ماده ای که به بستر پیوند خورده است ، باید عملکرد چگالی انرژی کرنش را مشخص کنید. بسیاری از مدلهای هیپرالاستیک زیادی در ادبیات برای توصیف پاسخ غیرخط ی-دفع فشار الستومرهای نرم وجود دارد ، از جمله آنهایی که اثرات سخت کننده کرنش را در تغییر شکل بزرگ ضبط می کنند ، به عنوان مثال ، مدل Arrud a-Boyce [34] ، مدل جنت [35] و مدل نئو هوکی عمومی که توسط نولز ارائه شده است [19] و بعداً توسط دیگران برای تجزیه و تحلیل میدانی کرک به تصویب رسید [21،23،27،28]. از آنجا که تمرکز ما در اینجا تأثیر لغزش رابط است ، استفاده از یک مدل ساده که رفتار الاستیک الاستومرهای نرم را به خوبی توصیف می کند ، سودمند است. یکی از گزینه ها مدل نئو هوکی غیرقابل جذب است ، زیرا بیشتر الاستومرها نسبت پواسون را نزدیک به 0. 5 دارند. با این حال ، در یک کار قبلی [29] ، نتایج شبیه سازی عناصر محدود یک تکینگی نوسان برای مزارع استرس در نزدیکی نوک یک ترک محوری بین یک ماده نئو هوکی غیرقابل فشرده و یک بستر سفت و سخت را با فرض وضعیت عدم لغزش نشان می دهد. این به اثرات ترکیبی از شرایط NO-Slip و محدودیت های تحریک پذیری نسبت داده شد. در این حالت ، راه حل های تحلیلی از زمینه های نوک ترک دشوار است.

برای اجازه راه حل های تحلیلی برای زمینه های نوک ترک و برجسته کردن تأثیر لغزش رابط ، ما محدودیت عدم فشار را آرام می کنیم و مجموعه ای از مدل های مواد فشرده را در نظر می گیریم. بینش از طریق کار Blatz & Ko [36] یافت شد ، جایی که عملکرد چگالی انرژی کرنش زیر برای لاستیک پلی اورتان پیوسته یا کف معرفی شد

در اینجا f نشان دهنده میزان اتساع از حفره ها در مواد فله است ، μ مدول ماده استحکام است و β نشان دهنده میزان تراکم پذیری است که تابعی از نسبت پواسون ν است.

ما این مدل را برای تجزیه و تحلیل میدانی ترک خوردگی اتخاذ می کنیم. مزیت این مدل این است که ما می توانیم با تنظیم پارامتر β ، تأثیر تراکم پذیری را مطالعه کنیم ، جایی که β → ∞ نشانگر عدم تحریک بودن است. با عملکرد ψ~مشخص شده ، ما از معادلات (2. 12) و (2. 17) استفاده می کنیم - (2. 21) برای به دست آوردن معادلات حاکم زیر برای مختصات تغییر شکل x₁و x₂,

3. راه حل های بدون علامت

در این بخش، میدان های تنش و تغییر شکل مجانبی را در نزدیکی نوک ترک مشترک حل می کنیم. با پیروی از روش مورد استفاده در تحلیل های مشابه نوک ترک [17،20،21،27،28]، ما راه حل میدان نزدیک زیر را برای مختصات تغییر شکل یافته x امتحان می کنیم._منبرای هر دو شرایط بدون اصطکاک و بدون لغزش

در اینجا، x ¯ i (i = 1, 2) ثابت هایی هستند که مختصات تغییر شکل یافته نوک ترک را نشان می دهند و توابع v_منناشناخته هستند. توان m باید واقعی باشد تا از باز شدن صاف ترک بر خلاف رفتار نوسانی که در محلول های الاستیک خطی قبلی با آن مواجه شده بود، اطمینان حاصل شود. علاوه بر این، با انگیزه این پیش بینی که تنش و گرادیان تغییر شکل ممکن است در نزدیکی نوک ترک نامحدود شود (r → 0) اما میدان های جابجایی باید محدود باقی بمانند، ما بیشتر فرض می کنیم که 0m

(الف) شرایط بدون اصطکاک

ابتدا، شرط مرزی در معادله (2. 34) x ¯ 2 = 0 را از معادله (3. 1) به دست می دهد. با استفاده از معادلات (2. 20b) و (3. 1)، عبارت های مرتبه اول ∇ x 2 x i و J هستند.

با جایگزینی معادلات (3. 2) و (3. 3) به معادله حاکم (2. 31a)، متوجه می شویم که ∇ x 2 x 1 = O (rm − 2) و

J − 2 ( β + 1 ) 1 r ( ∂ J ∂ r ∂ x 2 ∂ θ − ∂ J ∂ θ ∂ x 2 ∂ r ) = O ( r − ( 4 β + 1 ) ( m − 1 ) − 1 ).

مجدداً با حفظ عبارت های مرتبه پیشرو در شرایط مرزی در معادلات (2. 32) و (2. 34) داریم.

که در آن a یک ثابت دلخواه است. این واقعیت که v₁(θ) برای همه θ بین 0 و π ناپدید می شود به این معنی که باید عبارت های مرتبه بالاتر را در معادله (3. 1) وارد کنیم.

J = r n − 3 / 2 1 2 a [ n w 1 ( θ ) cos ( θ 2 ) − w 1 ' ( θ ) sin ( θ 2 ) ] + O ( r n − 3 / 2 ) . 3. 9

J − 2 ( β + 1 ) 1 r ( ∂ J ∂ r ∂ x 2 ∂ θ − ∂ J ∂ θ ∂ x 2 ∂ r ) = O ( r − ( 2 β + 1 ) ( n − 3 / 2 ) −3/2).

در حال حاضر مشخص نیست که کدام عبارت در معادله (2. 31a) به طور مجانبی غالب است. برای ادامه، ابتدا فرض می کنیم که عبارت آخر در معادله (2. 31a) به صورت r → 0 غالب است، به طوری که

در این فرض و با استفاده از معادلات (3. 8) و (3. 9)، عبارت مرتبه اول شرط مرزی اول از معادله (2. 32) نشان می دهد که

که برای هیچ w محدودی قابل ارضا نیست₁(π). این تناقض نشان می دهد که فرض معادله (3. 10) معتبر نیست و ما با دو حالت زیر روبرو هستیم.

در حالت I، دو عبارت موجود در معادله (2. 31a) از ترتیب r → 0 و w هستند.₁(θ) توسط یک معادله دیفرانسیل معمولی غیرخطی پیچیده اداره می شود. از نظر عددی ، ما این مورد را تأیید کرده ایم که من هیچ راه حلی را قبول نمی کنم که معادله حاکم (2. 31A) و معادلات مرزی (2. 32A) و (2. 34) را برای 0 برآورده کند.<β <∞ . Given this contradiction, we proceed with case II which leads to a simple closed-form solution. In §4, we show that this solution agrees with results obtained through finite-element simulations. Here, the first terms ∇ x 2 x 1 and ∇ x 2 x 2 dominate in equations (2.31a) and (2.31b), respectively, and we obtain (for both i =1,2)

لازم به ذکر است که این راه حل با آنچه به دست آمده توسط Guebelle & Knauss [21] برای یک حالت استرس هواپیما من موافق است ، من در یک ماده نئو هوکی همگن غیر همگن را ترک می کنم. در سایر آثار استفنسون [20] و Knowles & Steberg [24] ، مشخص شد که دوره دوم برای x₁در معادله (3. 16a) همان ترتیب (O (r)) را داشت ، اما با یک اصطلاح SIN 2 u2061 (θ / 2) به جای COS u2061 θ. این نتیجه با ما متفاوت است ، زیرا مدل فرض شده ما محدودیت کاملاً غیر قابل کنترل J = 1 را ندارد. همانطور که قبلاً ذکر شد ، با شرایط بدون اصطکاک ، راه حل نزدیک به یک ترک رابط همان است که برای حالت من در یک ماده همگن ترک می کنم. علاوه بر این ، برای تغییر شکل هواپیما و استرس از یک ماده نئو هوکی غیرقابل فشرده ، نسبت کشش اصلی خارج از هواپیما توسط 1/ J آورده شده است ، جایی که J تعیین کننده اجزای درون هواپیما از گرادیان تغییر شکل f است. در این حالت ، عملکرد چگالی انرژی کرنش به

جایی که من اثری از اجزای درون هواپیما از تانسور Cauchy-Green راست c است. بیان در معادله (3. 18) (که برای تغییر شکل هواپیما از یک ماده نئو هوکی غیرقابل فشرده است) همان است که برای تغییر شکل هواپیما-کرنش از مواد Blatz-KO (معادله (2. 30)) با β =1بنابراین ، جای تعجب آور نیست که ما همان راه حل نزدیک به نوک را مانند [21] بدست آورده ایم و در بالا نشان داده ایم که راه حل نیز برای β غیر از 1 معتبر است.

(ب) وضعیت بدون لغزش

باز هم ، ما با شکل راه حل ارائه شده در معادله (3. 1) شروع می کنیم ، اما شرط مرزی برای x₁در θ = 0 در معادله (2. 33) آورده شده است به گونه ای که ماده کاملاً بر روی سطح پیوند شده ثابت و x ¯ 1 = x ¯ 2 = 0 ثابت می ماند. با پیروی از همان روشهای معادلات (3. 2)-(3. 7) ، ما راه حل بدون علامت مرتبه اول را برای مورد بدون لغزش می یابیم

برخلاف شرایط بدون اصطکاک ، v₁(θ) به دلیل شرایط مرزی بدون لغزش در معادله (2. 33) از بین نمی رود. این راه حل به این معنی است که j = تجارت با گزینه‌‌های باینری...