واگرایی چیست؟

نماد معادله 1 به چه معنی است؟مثلث وارونه (که به عنوان اپراتور DEL نیز شناخته می شود) با یک نقطه در کنار آن چیست؟

[معادله 1]

در این بخش ، تعریف را بدون ریاضیات ارائه می دهم:

واگرایی در یک نقطه (x ، y ، z) اندازه گیری جریان بردار از سطح اطراف آن نقطه است. یعنی تصور کنید که یک میدان بردار نشان دهنده جریان آب است. سپس اگر واگرایی تعداد مثبتی باشد ، این بدان معنی است که آب از نقطه خارج می شود (مانند یک آب آب - این مکان یک منبع در نظر گرفته می شود). اگر واگرایی یک عدد منفی باشد ، آب در آن نقطه جریان می یابد (مانند تخلیه آب - این مکان به عنوان سینک شناخته می شود).

من چند نمونه را بیان می کنم تا این موضوع روشن تر شود. اول ، تصور کنید که ما یک قسمت بردار (توسط عملکرد بردار a) داریم همانطور که در شکل 1 نشان داده شده است ، و می خواهیم بدانیم واگرایی در نقطه P چیست:

شکل 1. نمونه ای از یک میدان بردار اطراف یک نقطه.

ما همچنین یک سطح (های) خیالی را در اطراف نقطه p ترسیم می کنیم. اکنون تصور کنید که بردار A نشان دهنده جریان آب است. سپس ، اگر مقدار آب خارج شده از سطح را اضافه کنید ، آیا مقدار مثبت خواهد بود؟پاسخ ، بله است: آب در هر مکان در امتداد سطح s از سطح خارج می شود. از این رو ، می توان گفت که واگرایی در P مثبت است.

بیایید یک مثال ساده دیگر ، از شکل 2 ، یک قسمت بردار جدید B را در اطراف نقطه P قرار دهیم:

شکل 2. مثال یک میدان بردار اطراف یک نقطه (واگرایی منفی).

در شکل 2 ، اگر تصور کنیم آب در حال جاری است ، می بینیم که نقطه P مانند تخلیه یا سینک آب عمل می کند. در این حالت ، جریان خارج از سطح منفی است - از این رو ، واگرایی میدان B در P منفی است.

خیلی ساده ، آه؟در اینجا چند نمونه دیگر وجود دارد. شکل 3 دارای یک میدان بردار C است که در اطراف آن قرار دارد:

شکل 3. مثال یک میدان بردار و بدون تغییر در اطراف یک نقطه.

در شکل 3 ، اگر C نشان دهنده جریان آب باشد ، آیا آب بیشتری از سطح خارج می شود یا از سطح خارج می شود؟در قسمت بالای شکل 3 ، آب از سطح خارج می شود ، اما در انتهای آن جریان می یابد. از آنجا که میدان دارای جریان مساوی به داخل و خارج از سطح S است ، واگرایی صفر است.

با دیدن اینکه احتمالاً اوقات خوبی را پشت سر می گذارید ، بیایید دو مثال دیگر انجام دهیم. شکل 4 را بررسی کنید:

شکل 4. فیلدی که به یک نقطه می پیچد.

در شکل 4 ، ما یک میدان وکتور D داریم که در اطراف نقطه p می پیچد. آیا جریان مثبت (خارج از سطح) است یا منفی (به سطح)؟در هر نقطه در امتداد سطح S ، میدان به صورت مماس در امتداد سطح جریان دارد. بنابراین این میدان در هر نقطه به داخل یا خارج از سطح جریان نمی یابد. از این رو ، دوباره ، ما واگرایی D برابر با 0 در ص.

بیایید به مثال آخر ، زمینه E در شکل 5 نگاه کنیم:

شکل 5. یک قسمت بردار پیچیده تر در اطراف یک نقطه.

میدان بردار E دارای یک بردار بزرگ بالاتر از نقطه P است که یک میدان قوی را در آنجا نشان می دهد - آب زیادی که از سطح خارج می شود. بردار سمت چپ P برای سطح کوچک و مماس است ، بنابراین در آن نقطه هیچ جریان به داخل یا خارج از S وجود ندارد. در مورد بردار سمت راست P نیز همین مسئله صادق است. و بردار زیر P کوچک است و نشانگر مقدار کمتری از آب در سطح است. از این رو ، می توانیم حدس بزنیم که واگرایی مثبت است - آب بیشتری از سطح خارج می شود تا داخل آن.

اما واگرایی دقیقاً چگونه اندازه گیری می شود؟برای رسیدن به آن ، ما باید به بخش ریاضی صفحه واگرایی حرکت کنیم.

ریاضیات پشت واگرایی

اول ، ما باید بدانیم که اپراتور واگرایی فقط می تواند یک عملکرد بردار را به عنوان ورودی بپذیرد. یک عملکرد بردار به سادگی یک بردار از 3 عملکرد است که به اجزای X- ، Y- و Z- شکسته می شود. برای کسب اطلاعات بیشتر ، به صفحه عملکرد بردار مراجعه کنید.

واگرایی یک اندازه گیری خاص برای تغییر سرعت میدان بردار در جهت های X ، Y و Z است. اگر یک عملکرد بردار A توسط:

[معادله 2]

سپس واگرایی A مجموع سرعت در حال تغییر عملکرد بردار است:

[معادله 3]

نماد نماد مشتق جزئی است ، به این معنی که میزان تغییر با توجه به x است. برای اطلاعات بیشتر ، به صفحه مشتقات جزئی مراجعه کنید.

نمونه های ریاضی واگرایی

بیایید قسمت بردار E را از شکل 5 به یاد بیاوریم ، اما این بار مقادیر را به بردارها اختصاص می دهیم ، همانطور که در شکل 6 نشان داده شده است:

شکل 6. میدان بردار E با بزرگی بردار نشان داده شده است.

در شکل 6 ، فرض کنیم که E در جهت z تغییر نمی کند ، تا بتوانیم از اصطلاح نهایی در معادله غفلت کنیم [3]. ما همچنین فرض خواهیم کرد که در این منطقه (در اطراف نقطه P) که همه چیز به صورت خطی متفاوت است. سپس واگرایی در شکل 6 چیست؟

با استفاده از معادله [3] ، می توانیم میزان تغییر در جهت های X و Y را تخمین بزنیم (با فرض میزان تغییر در Z صفر است):

[معادله 4]

شما باید مطمئن شوید که معادله [4] معنی دارد. توجه داشته باشید که وقتی نرخ X تغییر E را ارزیابی می کنیم ، فقط به مؤلفه سابق اهمیت می دهیم. اگر به بردارهای آبی در شکل 6 نگاه می کنید ، می توانید در مکان های (1،0،0) و (-1،0،0) مشاهده کنید که ما سابق = 0 داریم. از این رو هیچ تغییری در سابق در x وجود ندارد. با این حال ، اگر به میزان تغییر E در جهت Y نگاه کنید ، EY = 3 در (0،1،0) و EY = 1 در (0 ، -1،0) داریم. بنابراین ، با توجه به جهت y ، جریان بیشتری از نقطه p وجود دارد. از این رو نکته P به عنوان منبع عمل می کند و واگرایی مثبت است.

بگذارید اکنون به عنوان مثال 2 حرکت کنیم. من فرض می کنم شما کمی حساب می دانید ، تا بتوانم از عمل مشتق استفاده کنم. مشتق (همانطور که در معادله [3] نشان داده شده است) میزان تغییر یک تابع را با توجه به یک متغیر واحد محاسبه می کند. عملکرد بردار A را در معادله در نظر بگیرید [5]:

[معادله 5]

واگرایی را می توان با استفاده از معادله محاسبه کرد [3]:

[معادله 6]

معادله [6] واگرایی را در هر مکان در فضا به ما می دهد. یعنی اگر می خواهید واگرایی را در (x ، y ، z) = (3،2،1) بدانید ، می توانیم از معادله [6] استفاده کنیم تا ببینیم واگرایی A 2+6*1 = 8 است. ما می توانیم واگرایی را در هر نقطه از فضا پیدا کنیم زیرا می دانستیم توابع تعیین کننده بردار A از معادله [5] ، و سپس میزان تغییرات (مشتقات) را در معادله محاسبه می کنیم [6].

من فکر می کنم این موضوع بسیار خوب است ، حداقل تا آنجا که ما باید برای معادلات ماکسول بدانیم. به یاد داشته باشید: برای هر نقطه از فضا ، واگرایی یک عملکرد بردار را می گیرد و یک عدد واحد تولید می کند. این تعداد ارزیابی می کند که آیا این نقطه به عنوان منبع زمینه عمل می کند (زمینه های بیشتری را از آنچه در آن می گیرد تولید می کند) یا به عنوان سینک زمینه ها (زمینه ها در اطراف نقطه کاهش می یابد).

این صفحه در مورد واگرایی (اپراتور DIV) دارای حق چاپ است ، به ویژه برنامه معادلات ماکسول. هیچ بخشی را نمی توان تولید کرد مگر با اجازه نویسنده. کپی رایت Maxwells-equents.com ، 2012.