تعیین ضریب همبستگی برای داده های مداوم: ضریب همبستگی لحظه محصول پیرسون

ضریب همبستگی لحظه محصول پیرسون به طور مناسب برای مراحل محاسباتی ریاضی که برای تولید نتیجه استفاده می شود ، نامگذاری شده است. اول ، محاسبه بر اساس ضرب متغیرها است که منجر به تولید یک محصول می شود. دوم ، متغیرها ، دارای برچسب X و Y ، به عنوان لحظه های آماری مستقل محاسبه می شوند ، به موجب آن هر نمره در برابر اندازه جبری متغیر از مرکزیت نمرات گروه ، میانگین ارزیابی می شود. به این ترتیب ، ضریب همبستگی تخمین ای از رابطه بین دو متغیر وابسته را به محقق ارائه می دهد.

برآورد نتیجه از ضریب همبستگی لحظه محصول پیرسون به معنای علت یا علیت بین دو متغیر نیست. در عوض ، برآورد نتیجه صرفاً برآوردی است که چگونه دو متغیر از نزدیک پاسخ های مستقل را برای یک نمونه توصیف می کنند. ضریب همبستگی با ترکیب تخمین واریانس در هر یک از متغیرهای مورد نظر جداگانه اندازه گیری شده محاسبه می شود.

به طور خاص ، ضریب همبستگی یک نمره نسبت است که ا ز-1. 00 تا +1. 00 متغیر است و از یک محصول متقاطع ایجاد می شود:

به عنوان اصطلاح شمارشگر و سپس از طریق تقسیم با اصطلاح خطا در مخرج ، که ریشه مربع محصول جمع مربع ها برای متغیر X و مجموع مربع ها برای متغیر y است ، همانطور که در اینجا نشان داده شده است ، تنظیم می شود: همانطور که در اینجا نشان داده شده است:

فرمول محاسبه ضریب همبستگی محصول پیرسون در اینجا نشان داده شده است:

هنگامی که به صورت گرافیکی ارائه می شود ، اقدامات زوج متغیرهای X و Y برای مجموعه نمرات به عنوان یک نقطه واحد در فضای نمودار نشان داده می شوند. محاسبه ضریب همبستگی توصیف رابطه ریاضی بین جفت های متغیر x و y در یک فضای هندسی است. سه نمودار زیر نشان دهنده افراط ضرایب همبستگی لحظه محصول پیرسون برای روابط بین جفت های متغیر x و y است. در شکل 1 ، این رابطه ضریب همبستگی لحظه محصول پیرسون را به عنوان مثبت مثبت با مقدار R 1. 00 نشان می دهد. در شکل 2 ، رابطه مقدار R منفی شدی د-1. 00 را نشان می دهد. در شکل 3 ، این رابطه به عنوان یک ضریب همبستگی لحظه محصول پیرسون از صفر یا رابطه ریاضی بین نمرات X و Y زوج هر یک از شرکت کنندگان نشان داده شده است.

شکل 1. بازنمایی ضریب همبستگی لحظه محصول پیرسون به عنوان r = 1. 00

در شکل بالا ، خوشه نمرات زوج در متغیر X و متغیر y در یک جهت مثبت در فضای نمودار ارائه می شود. برای نمره هر فرد در متغیر X نمره مساوی در متغیر Y نسبت به مقیاس نمرات وجود دارد. این بدان معنی است که یک نمره مناسب در متغیر Y با نمره بالا در متغیر X مطابقت دارد. و به همین ترتیب یک نمره به طور پایین در متغیر Y با نمره پایین در متغیر X مطابقت دارد. هنگامی که متغیرهای X و Y همانطور که به عنوان یک نقطه واحد در فضای نمودار نشان داده می شود ، تصویر حاصل از همبستگی مثبت بین متغیرهای X و Y برای مجموعه نمرات شرکت کنندگان نشان می دهد.

شکل 2. بازنمایی ضریب همبستگی لحظه محصول پیرسون به عنوان r = -1. 00

در شکل بالا ، خوشه نمرات زوج در متغیر X و متغیر y در یک جهت منفی در فضای نمودار ارائه می شود. برای نمره هر فرد در متغیر X ، نمره معکوس در متغیر Y نسبت به مقیاس نمرات وجود دارد. این بدان معنی است که یک نمره مناسب در متغیر Y با نمره پایین در متغیر X مطابقت دارد و به همین ترتیب ، یک نمره به طور پایین در متغیر Y با نمره بالایی در متغیر X مطابقت دارد. هنگامی که متغیرهای X و Y همانطور که به عنوان یک نقطه واحد در فضای نمودار نشان داده می شود ، تصویر حاصل از همبستگی منفی بین متغیرهای X و Y برای مجموعه نمرات شرکت کنندگان نشان می دهد.

شکل 3. بازنمایی ضریب همبستگی لحظه محصول پیرسون به عنوان r = 0. 00

در شکل 3 ، در بالا ، خوشه نمرات زوج در متغیر X و متغیر y به عنوان هیچ جهت قطعی در فضای نمودار ارائه نمی شود. برای نمره هر فرد در متغیر X ، هیچ نمره مربوط به متغیر Y نسبت به مقیاس نمرات وجود ندارد. در این مثال ، متغیرهای X و Y به سادگی به عنوان جفت نمرات در فضای گرافیکی نشان داده می شوند. هیچ ارتباطی وجود ندارد که تصادفی کامل در امتیاز دهی توسط یک فرد در متغیرهای X و در متغیرهای Y وجود داشته باشد و از این طریق رابطه ای بین دو متغیر برای مجموعه نمرات شرکت کنندگان نشان نمی دهد.

ضریب همبستگی تخمین رابطه بین دو متغیر را به محقق ارائه می دهد. ضریب همبستگی لحظه محصول پیرسون به معنای علت یا علیت بین دو متغیر نیست. در عوض ، این اندازه گیری صرفاً برآوردی است که چگونه دو متغیر از نزدیک پاسخ های مستقل را برای یک نمونه توصیف می کنند. ضریب همبستگی با ترکیب اقدامات واریانس در هر یک از متغیرهای اندازه گیری شده جداگانه محاسبه می شود ، همانطور که در فرمول زیر نشان داده شده است:

یک مثال SAS

مجموعه داده های زیر را در نظر بگیرید ، با 6 شرکت کننده در دو متغیر جداگانه اندازه گیری می شود. هدف شما این است که تعیین کنید که آیا گروه های مختلف در VAR_1 شبیه به اقدامات گروهی VAR_2 هستند یا خیر. برای کسانی از شما که به برچسب های ملموس تر نیاز دارند ، بیایید در نظر بگیریم که VAR_1 نمرات ضریب هوشی را نشان می دهد و VAR_2 نشان دهنده اندازه کفش است.

به طوری که پرس و جو ما به سادگی باشد ، آیا بین نمرات ضریب هوشی و اندازه کفش رابطه وجود دارد. به منظور تجزیه و تحلیل این داده ها ، شما برنامه SAS زیر را ایجاد می کنید که خروجی نشان داده شده در زیر را تولید می کند.

کد SAS برای تولید ضریب همبستگی پیرسون و یک خط از بهترین تناسب در یک پراکنده