10. 4: اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی

•  
• ماکسی اینیگو ، جنیفر جیمسون ، کاترین کوزاک ، مایا لانزتا و کیم سونیر
• کالج جامعه نارگیل

یک سکانس مشهور و مهم ، دنباله فیبوناچی است که به نام ریاضیدان ایتالیایی معروف به لئوناردو پیسانو نامگذاری شده است که نام مستعار آن فیبوناچی بود و از 1170 تا 1230 زندگی می کرد. این سکانس عبارت است از: [ nonumber ]

و غیره

به عبارت دیگر ، برای به دست آوردن اصطلاح بعدی در دنباله ، دو اصطلاح قبلی را اضافه کنید. [ nonumber ] نمادی که ما برای نشان دادن توالی فیبوناچی استفاده خواهیم کرد به شرح زیر است: [f_ = 1 ، f_ = 1 ، f_ = 2 ، f_ = 3 ، f_ = 5 ، f_ = 8 ، f_ =13 ، f_ = 21 ، f_ = 34 ، f_ = 55 ، f_ = 89 ، f_ = 144 ، ldots nonumber ] مثال ( pageindex ): پیدا کردن اعداد فیبوناچی به صورت بازگشتی شماره 13 ، 14 و 15 فیبوناچی را پیدا کنیدبا استفاده از تعریف بازگشتی فوق برای دنباله فیبوناچی. اول ، توجه کنید که در حال حاضر 12 شماره فیبوناچی در بالا ذکر شده است ، بنابراین برای یافتن سه شماره فیبوناچی بعدی ، ما به سادگی دو اصطلاح قبلی را اضافه می کنیم تا اصطلاح بعدی را همانطور که تعریف می کند ، بدست آوریم. بنابراین ، تعداد فیبوناچی سیزدهم ، 14 و 15 به ترتیب 233 ، 377 و 610 است. محاسبه شرایط دنباله فیبوناچی می تواند هنگام استفاده از فرمول بازگشتی خسته کننده باشد ، به خصوص هنگام پیدا کردن اصطلاحات با یک n بزرگ. خوشبختانه ، یک ریاضیدان به نام لئونارد اویلر فرمولی را برای محاسبه هر شماره فیبوناچی کشف کرد. این فرمول حدود 100 سال از بین رفت و توسط ریاضیدان دیگری به نام ژاک بینه کشف شد. فرمول اصلی ، معروف به فرمول بینه ، در زیر آمده است.

نسخه ای ساده تر و کاربر پسند تر از فرمول Binet گاهی اوقات به جای نسخه فوق استفاده می شود.

مثال ( pageindex ): یافتن صریحاً مقدار استفاده از فرمول ساده شده Binet را پیدا کنید. شکل ( pageindex ): کار ماشین حساب به عنوان مثال ( pageindex ): یافتن صریحاً مقدار استفاده از فرمول ساده شده Binet را پیدا کنید. Example (PageIndex): Finding Explicitly Find the value of using Binet’s simplified formula. All around us we can find the Fibonacci numbers in nature. The number of branches on some trees or the number of petals of some daisies are often Fibonacci numbers Figure (PageIndex): Fibonacci Numbers and Daisies a. Daisy with 13 petals b. Daisy with 21 petals a. b. (Daisies, n.d.) Fibonacci numbers also appear in spiral growth pattes such as the number of spirals on a cactus or in sunflowers seed beds. Figure (PageIndex): Fibonacci Numbers and Spiral Growth a. Cactus with 13 clockwise spirals b. Sunflower with 34 clockwise spirals and 55 counterclockwise spirals a. b. (Cactus, n.d.) (Sunflower, n.d.) Another interesting fact arises when looking at the ratios of consecutive Fibonacci numbers. It appears that these ratios are approaching a number. The number that these ratios are getting closer to is a special number called the Golden Ratio which is denoted by (the Greek letter phi). You have seen this number in Binet’s formula.

نسبت طلایی به دلایل مختلف یک عدد خاص است. به آن نسبت الهی نیز گفته می شود و در هنر و معماری ظاهر می شود. برخی ادعا می کنند که خوشایندترین نسبت به چشم است. برای یافتن این نسبت، یونانی ها یک طول را به دو قسمت تقسیم کردند و اجازه دادند که قطعه کوچکتر برابر با یک واحد باشد. خوشایندترین برش زمانی است که نسبت کل طول به قطعه بلند با نسبت قطعه بلند به قطعه کوتاه 1 یکسان باشد. نسبت طلایی راه حلی برای معادله درجه دوم است به این معنی که دارای خاصیت است. این به این معنی است که اگر می خواهید نسبت طلایی را مربع کنید، فقط یک عدد به آن اضافه کنید. برای بررسی این موضوع، کافی است وصل کنید. کار کرد! رابطه جالب دیگری بین نسبت طلایی و دنباله فیبوناچی هنگام گرفتن توان های . و غیره. توجه داشته باشید که ضرایب و اعداد اضافه شده به عبارت اعداد فیبوناچی هستند. این را می توان به فرمولی به نام قانون قدرت طلایی تعمیم داد.

مثال (PageIndex): توان های نسبت طلایی با استفاده از قانون توان طلایی موارد زیر را بیابید: a. و ب.

این صفحه با عنوان 10. 4: اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی تحت یک مجوز اعلام نشده به اشتراک گذاشته شده است و توسط مکسی اینیگو، جنیفر جیمسون، کاترین کوزاک، مایا لانزتا و کیم سونیر از طریق محتوای منبع ویرایش شده تالیف، ریمیکس و/یا سرپرستی شده است. به سبک و استانداردهای پلت فرم LibreTexts؛تاریخچه ویرایش دقیق در صورت درخواست در دسترس است.

1. بازگشت به بالا
2. • 10. 3: دگرگونی هایی که اندازه و ارقام مشابه را تغییر می دهند
   • 10. 5: تمرینات

• این مقاله به شما کمک کرد؟
• آره
• No