مدل سیاه اسکولز

هم شرکت های دولتی و هم شرکت های غیر دولتی از مدل سیاه اسکولز (یا BSM) استفاده می کنند تا به دلیل سادگی نسبی و پذیرش گسترده ، گزینه های خود را ارزیابی کنند. اگرچه مدل سیاه اسکول ها نسبتاً ساده است ، فرمول ها و محاسبات مورد استفاده برای ارزش یک گزینه هنوز هم می توانند بدون درک اساسی از مدل دلهره آور باشند. در این مقاله هدف از مدل سیاه اسکولز ، ورودی های آن ، محدودیت های آن و گزینه های آن توضیح داده شده است. علاوه بر این ، این مقاله به پیچیدگی هایی اشاره می کند که ممکن است شرکت ها هنگام اجرای مدل سیاه اسکول ها ، از طریق آن کار کنند.

هدف

بسیاری از شرکت ها با استفاده از گزینه های سهام ، کارمندان را جبران می کنند. این گزینه ها دارای ارزش هستند و تعیین مقدار صحیح بخش مهمی از حسابداری برای جبران سهام است. با این حال ، تعیین ارزش گزینه های سهام می تواند دشوار باشد زیرا یک شرکت باید ارزش را تخمین بزند.

در حالت ایده آل ، شرکت شما می تواند گزینه های خود را با استفاده از قیمت های قابل مشاهده در بازار از گزینه های یکسان یا مشابه ، ارزیابی کند. با این حال ، گزینه های موجود در بازارهای قابل مشاهده به ندرت یکسان یا مشابه برنامه های شرکت شما هستند. مدل Black-Scholes به تخمین ارزش گزینه های شرکت شما کمک می کند تا گزینه های قابل مقایسه در یک بازار قابل مشاهده در دسترس نباشند و متداول ترین روش برای ارزیابی گزینه ها است.

مدل Black-Scholes ارزش منصفانه ابزارهای مالی گزینه مانند گزینه های زیر را محاسبه می کند:

• گزینه های سهام کارمندان: نوعی جبران خسارت که به یک کارمند حق خرید سهام شرکت را با قیمت از پیش تعیین شده پس از شرایط واگذاری می دهد.
• گزینه ها: گزینه هایی که به مالک حق فروش سهام را با قیمت از پیش تعیین شده می دهد.
• گزینه های تماس: گزینه هایی که به مالک حق می دهد سهام را با قیمت از پیش تعیین شده خریداری کند.
• ضمانت نامه ها: ابزارهای مالی مشابه گزینه های سهام و اجازه می دهند سهام شرکت با قیمت مشخص خریداری شود. پیوند مقاله را به مقاله ما در مورد ضمانت ها دنبال کنید تا ببینید که چگونه ضمانت نامه ها و گزینه های سهام متفاوت است.

ورودی

هنگام استفاده از مدل بلک شولز، ارزش منصفانه یک گزینه با پیش بینی نتایج بالقوه آینده، وزن دهی احتمالی آن نتایج، و تنزیل نتایج به ارزش فعلی برآورد می شود. هرچه احتمال انقضای یک اختیار در پول بیشتر باشد (یعنی ارزش منصفانه در زمان اجرا از قیمت اعمال بیشتر باشد)، آن گزینه ارزشمندتر است. در مدل بلک شولز از شش ورودی استفاده می شود - قیمت فعلی سهام، قیمت اعمال، نرخ بدون ریسک، مدت مورد انتظار، نوسانات، و بازده تقسیمی.

نمودار خلاصه BSM

با افزایش قیمت سهام نسبت به قیمت اعمال، ارزش منصفانه اختیار افزایش می یابد.

کم (نهادهای عمومی) تا زیاد (نهادهای غیر دولتی)

تعیین قیمت فعلی سهام برای شرکت های غیردولتی دشوارتر است زیرا شرکت های غیر دولتی نیاز به ارزیابی 409A ارائه شده توسط کارشناسان ارزشیابی دارند.

با افزایش قیمت اعمال نسبت به قیمت سهام، ارزش منصفانه اختیار کاهش می یابد.

قیمت اعمال در قرارداد اعطای اختیار قید شده است.

گزینه ای که مدت مورد انتظار طولانی تری دارد، ارزشمندتر است زیرا احتمال انقضای آن در پول بیشتر است.

متوسط تا زیاد

از آنجایی که گزینه های ایالات متحده معمولاً می توانند در هر زمانی بین تاریخ تخصیص و تاریخ انقضا اعمال شوند، برآورد مدت مورد انتظار نیاز به تجزیه و تحلیل و قضاوت دارد.

قیمت اعمال با نرخ بدون ریسک تنزیل می شود، بنابراین نرخ بدون ریسک بزرگ تر باعث می شود قیمت اعمال کوچک تر و در نتیجه ارزش منصفانه گزینه بزرگ تر شود.

نرخ های بدون ریسک را به راحتی می توان به صورت آنلاین در وب سایت وزارت خزانه داری پیدا کرد. انتخاب یک نرخ بدون ریسک مربوطه نیازمند توسعه تخمین مدت مورد انتظار است.

احتمال انقضای سهام با نوسان بیشتر در پول بیشتر است، بنابراین نوسانات بیشتر باعث افزایش ارزش یک گزینه می شود.

اندازه گیری نوسان می تواند دشوار باشد، به ویژه برای شرکت های غیر دولتی. اندازه گیری نوسان نیاز به درجه بالایی از قضاوت در تجزیه و تحلیل داده های مربوطه و رسیدن به یک نتیجه معنادار دارد.

از آنجایی که دارنده اختیار معامله حقوقی در مورد سود سهام پرداخت شده توسط یک شرکت ندارد، بازده سود سهام بالاتر ارزش یک اختیار را کاهش می دهد.

اکثر شرکت ها از بازده سود سهام فعلی خود با این فرض استفاده می کنند که بازده سود سهام در طول زمان ثابت می ماند که برای بسیاری از شرکت های غیر دولتی 0٪ است.

قیمت فعلی سهام

ارزش منصفانه گزینه سهام با افزایش قیمت سهام فعلی نسبت به قیمت ورزش افزایش می یابد.

قیمت سهام فعلی ارزش سهام در تاریخ اعطای گزینه است. برای شرکت های معامله شده عمومی ، قیمت سهام فعلی به راحتی در لیست شرکت در دسترس است. ارزش گذاری قیمت سهام شرکتهای غیر دولتی کمی پیچیده تر است. تجزیه و تحلیل دقیق تر از فرایند ارزیابی برای شرکت های غیر دولتی را می توان در مقاله ارزیابی ما یافت. ارزیابی های 409A ، به طور خاص ، هنگام صدور جبران سهام به کارمندان ، توسط شرکت های غیر دولتی اغلب مورد استفاده قرار می گیرد. ارزیابی های 409A به اطمینان حاصل می شود که شرکت با بخش 409A کد مالیات (و اطمینان حاصل کنید که شرکت از مجازات 20 درصدی مالیاتی جلوگیری می کند) با حمایت از ارزش سهام اساسی یک شرکت و قیمت سهام حاصل. متخصصان خارج از کشور اغلب برای انجام ارزیابی 409A برای شرکت های غیر عمومی استخدام می شوند.

قیمت اجرا

ارزش منصفانه گزینه سهام با افزایش قیمت ورزش نسبت به قیمت سهام افزایش می یابد.

قیمت تمرینی یا اعتصاب یک گزینه ، قیمت ثابت است که پس از انتخاب گزینه ، می توان سهام را خریداری یا فروخته شد. قیمت ورزش در توافق نامه اعطای گزینه بیان شده است. همانطور که توسط توافق نامه تعریف شده است ، قیمت ورزش تقریباً همیشه برابر با قیمت فعلی سهام در تاریخ کمک هزینه است.

مدت مورد انتظار

اصطلاح مورد انتظار با مقدار یک گزینه همبستگی مثبت دارد. با افزایش بازه زمانی یک گزینه ، زمان بیشتری برای نوسانات گزینه برای ایجاد ارزش درون پول وجود دارد.

مدت مورد انتظار به مدت زمان بین زمان تعلق گرفتن و چه زمانی آنها یا اعمال می شوند یا از بین می روند. مانند سایر ورودی های موجود در مدل Black-Scholes ، این ورودی یک عدد واحد است. تعیین تخمین صحیح برای این ورودی دشوار است زیرا گزینه های ایالات متحده ممکن است در هر زمان بین تاریخ واگذاری و تاریخ انقضا اعمال شود - شکافی که ممکن است طی سالهای بسیاری گسترش یابد. برخی از گزینه ها حتی قبل از جلیقه قابل استفاده هستند. این برآورد همچنین تأثیر نسبتاً زیادی بر خروجی مدل سیاه اسکول ها دارد.

کمترین مقدار ممکن برای اصطلاح مورد انتظار ، اصطلاح واگذاری است و حداکثر مقدار پایان مدت قرارداد است (یعنی وقتی گزینه ها منقضی می شوند). اگر گزینه ها به عنوان گزینه های "وانیل ساده 1" واجد شرایط باشند ، یک شرکت ممکن است با استفاده از روش "ساده" گزینه را تخمین بزند. در روش ساده شده ، اصطلاح مورد انتظار با گرفتن میانگین مدت واگذاری و اصطلاح قراردادی محاسبه می شود:

مدت مورد انتظار = (اصطلاح جلیقه + اصطلاح قراردادی)/2

غالباً ، یک شرکت جایزه ای با ترانس های چندگانه (یعنی دوره های واگذاری) ، مانند زمانی که این جایزه مشمول جلیقه درجه بندی شده است ، می دهد. توضیح مفصلی در مورد واگذاری درجه بندی شده را می توان در مقاله های سهام ما 101 یافت. هنگامی که یک شرکت دارای چندین ترانس جلیقه است ، این شرکت به طور معمول اصطلاح واگذاری را به عنوان میانگین وزنه برداری وزنه برداری از ترانشه ها تخمین می زند. به عنوان مثال ، شرکتی با دو ترانس جلیقه ممکن است از فرمولی مانند موارد زیر استفاده کند:

مدت مورد انتظار = [(اصطلاح واگذاری A + اصطلاح واگذاری B)/2 + اصطلاح قرارداد]/2

تحت GAAP ایالات متحده ، یک شرکت فقط در صورتی که از داده های تاریخی کافی یا اطلاعات عمومی و مربوط به آن برخوردار نباشد ، می تواند از روش ساده شده استفاده کند تا یک تخمین قابل پشتیبانی را برای مدت مورد انتظار تهیه کند. با این حال ، در عمل بسیاری از شرکت ها از روش ساده شده استفاده می کنند که روش های دیگر عملی نباشند. ASC 718-10-55-32 اظهار داشت که یک شرکت ممکن است از "هرگونه اطلاعات مرتبط و قابل پشتیبانی در دسترس باشد" در توسعه اصطلاح مورد انتظار خود ، مانند میانگین صنعت ، معیارهای شرکت های عمومی یا تحقیقات علمی عمومی استفاده کند. در تهیه یک اصطلاح مورد انتظار ، شرکت شما همچنین باید تاریخچه قیمت سهام خود ، دوره های خاموشی 2 ، برنامه های استراتژیک آینده و نوسانات مورد انتظار را در نظر بگیرد. این عوامل ممکن است تعدیل مدت مورد انتظار شما را تضمین کند.

نرخ عاری از ریسک

نرخ بازده بدون ریسک با مقدار یک گزینه همبستگی مثبت دارد. یکی از مؤلفه های مدل سیاه اسکول ، محاسبه ارزش فعلی قیمت ورزش است و نرخ ریسک بدون ریسک نرخ مورد استفاده برای تخفیف قیمت ورزش در محاسبه ارزش فعلی است. نرخ بزرگتر بدون ریسک ارزش فعلی قیمت ورزش را کاهش می دهد ، که باعث افزایش ارزش یک گزینه می شود.

نرخ بدون ریسک، نرخ بازگشت سرمایه با ریسک صفر است. نرخ بدون ریسک با استفاده از نرخ اوراق قرضه دولتی مطمئن که به همان ارز اختیاری است، ایجاد می شود. به عنوان مثال، یک شرکت با گزینه ای به دلار باید نرخ بدون ریسک را با استفاده از اوراق قرضه خزانه داری ایالات متحده، که در وب سایت وزارت خزانه داری یافت می شود، تعیین کند. افق زمانی نرخ بدون ریسک با ورودی مدت مورد انتظاری که در بالا مورد بحث قرار گرفت مطابقت دارد.

نوسان

نوسانات با ارزش یک گزینه همبستگی مثبت دارد. نوسانات بیشتر نشان دهنده پتانسیل بیشتری برای بالاتر بودن قیمت سهام است، بنابراین مدل بلک شولز ارزش بیشتری را به گزینه هایی با نوسان بالاتر اختصاص می دهد و همه ورودی های دیگر را ثابت نگه می دارد.

نوسانات، میزان نوسانات تخمینی قیمت سهام را در یک دوره معین اندازه گیری می کند. در صورت وجود، شرکت شما باید نوسانات را با استفاده از قیمت های تاریخی سهام خود ارزیابی کند. برای شرکت های سهامی عام، این اطلاعات به راحتی در بازارهای فعال در دسترس است. با این حال، این فرآیند برای شرکت های قبل از IPO پیچیده تر است.

یک شرکت غیرعمومی ممکن است نوسانات تاریخی سهام خود را بر اساس معاملاتی که شرکت از سهام به عنوان مابه التفاوت استفاده کرده یا اوراق سهام جدید یا اوراق بدهی قابل تبدیل منتشر کرده است، تعیین کند. با این حال، شرکت های غیر دولتی به ندرت اطلاعات تاریخی کافی برای حمایت از این تخمین ها دارند. در غیاب اطلاعات تاریخی کافی، شرکت های غیردولتی باید به نوسانات تاریخی شرکت های قابل معامله عمومی مشابه یا نوسان یک «شاخص بخش صنعت» مناسب (ASC 718-10-30-20) نگاه کنند. در انتخاب یک شاخص مناسب بخش صنعت، اندازه و صنعت شرکت غیر دولتی باید در نظر گرفته شود. پس از انتخاب یک شاخص مناسب، شرکت غیر دولتی باید نوسانات تاریخی را در یک افق زمانی مطابق با مدت مورد انتظار آن تجزیه و تحلیل کند.

شرکت های غیر دولتی ممکن است نوسانات تاریخی یک شرکت سهامی عام یا گروه همتای شرکت ها را از روی قیمت واقعی سهام محاسبه کنند. شرکت هایی که ارزیابی های 409A را ارائه می کنند اغلب نوسانات را برای شرکت غیردولتی محاسبه می کنند و شرکت های غیر دولتی ممکن است بتوانند نوسانات محاسبه شده را از گزارش 409A به مدل Black-Scholes بکشند. یک شرکت غیر دولتی همچنین ممکن است داده های افشا شده توسط شرکت های عمومی قابل مقایسه را برای محاسبه نوسانات مفید بیابد. گاهی اوقات، یک شرکت سهامی عام ممکن است به سادگی نوسانات قیمتی مورد انتظار خود را افشا کند.

در موارد دیگر، نوسانات را می توان با سایر اطلاعات عمومی در دسترس حل کرد. به عنوان مثال، یک شرکت با اختیار معامله عمومی (الف) قیمت اختیار معامله در بازار، (ب) یک مدت قرارداد باقیمانده، (ج) قیمت اعمال اعلام شده، و (د) اطلاعات بازاریابی به راحتی در دسترس برای نرخ بدون ریسک وعملکرد سود. این ورودی ها را می توان در فرمول Black-Scholes برای حل نوسانات قرار داد. این به عنوان نوسانات ضمنی نامیده می شود. در عمل، از نوسانات تاریخی بسیار بیشتر از نوسانات ضمنی استفاده می شود.

اگرچه نادر است، اما ممکن است شرکت ها برای در نظر گرفتن عواملی که ممکن است بر نوسانات تأثیر می گذارند، تغییراتی را در نوسانات برآورد شده انجام دهند. به عنوان مثال، اگر انتظار می رود عملکرد آینده با تجربه تاریخی متفاوت باشد، یک شرکت ممکن است محاسبه نوسانات را بر این اساس تنظیم کند. این به این دلیل است که نوسانات تخمینی از نوسانات آینده است.

عملکرد سود

سود سهام با ارزش یک گزینه همبستگی منفی دارد. این به این دلیل است که دارندگان اختیار معامله حقی نسبت به سود سهام صادر شده توسط یک شرکت ندارند. بازده سود سهام در مدل بلک شولز با کم کردن نرخ سود مورد انتظار از قیمت فعلی سهام تعبیه می شود.

به طور معمول، تعیین بازده تقسیمی نیازی به تجزیه و تحلیل گسترده ندارد. بسیاری از شرکت ها فرض می کنند که انتظار می رود بازده سود سهام فعلی در طول زمان ثابت بماند و از بازده سود سهام فعلی در تاریخ اعطا استفاده خواهند کرد. شرکت ها همچنین ممکن است با در نظر گرفتن میانگین چند پرداخت اخیر سود سهام، بازده سود را تخمین بزنند. شرکت های با رشد بالا (از جمله شرکت های قبل از عرضه اولیه سهام) اغلب بازدهی سود سهام صفر درصد را در نظر می گیرند.

محدودیت ها

در حالی که مدل بلک شولز نسبتاً ساده است و به طور گسترده در جامعه مالی استفاده می شود، اما محدودیت هایی دارد. مدل در ورودی های خود سفت و سخت است و مفروضات قابل توجهی ایجاد می کند.

در ابتدا ، این مدل برای ارزش گذاری گزینه های تماس اروپایی ایجاد شده است. همانطور که در بالا ذکر شد ، گزینه های ایالات متحده در هر زمان بین تاریخ جلیقه و تاریخ انقضا قابل استفاده است ، در حالی که گزینه های اروپایی فقط در تاریخ انقضا قابل استفاده هستند. بنابراین ، گزینه های ایالات متحده با ارزش تر از گزینه های قابل مقایسه اروپایی هستند زیرا گزینه ها به احتمال زیاد در پول اعمال می شوند. علاوه بر این ، مدل Black-Scholes اجازه نمی دهد تا هیچ فعالیتی دارای ورودی های متعدد باشد. به عنوان مثال ، اگرچه شرکت شما ممکن است الگوهای تمرینی مداوم را در نقاط مختلف در زمان پس از جلیقه گزینه ها شناسایی کند ، شرکت شما باید این تخمین ورودی را به یک شماره واحد کاهش دهد. داشتن فقط یک ورودی واحد برای هر فعالیت منجر به اندازه گیری دقیق کمتر از مقدار منصفانه یک گزینه می شود.

علاوه بر این ، مدل Black-Scholes محدودیت هایی در فرضیات خود دارد. مدل سیاه پوست فرض می کند که برخی از عوامل با گذشت زمان ثابت باقی می مانند ، از جمله سود سهام ، نرخ بدون ریسک و نوسانات. همچنین فرض می کند که هیچ هزینه معامله یا مالیات هنگام خرید گزینه ها وجود دارد و بازارها کاملاً کارآمد هستند (یعنی تغییرات غیر منتظره بزرگی رخ نمی دهد).

برای پاسخگویی به این محدودیت ها ، یک شرکت ممکن است از یک نسخه اصلاح شده از مدل Black-Scholes استفاده کند یا از یک مدل پیچیده تر مانند مدل شبکه استفاده کند. در انتخاب بین مدل سیاه اسکولز و یک مدل مشبک ، شرکت شما باید تجارت را بین دقت تخمین و هزینه و تلاش اضافی مورد نیاز برای ایجاد آن برآورد در نظر بگیرد.

مدل های مشبک

مدل Black-Scholes نمونه ای از یک مدل با فرم بسته است-مدلی که از یک معادله برای حل مقدار منصفانه یک گزینه استفاده می کند. از طرف دیگر مدل های شبکه انعطاف پذیر و پیچیده تر هستند. برخی از نمونه های مدل های مشبک شامل مدل های دوتایی ، ترینومی و محدوده محدود است. یک مدل شبکه فرض می کند که تغییرات قیمت در طی چندین دوره زمانی اتفاق می افتد. بنابراین ، هر دوره مورد استفاده در مدل ، حداقل دو حرکت قیمت دارد.

یک مدل مشبک می تواند فرضیات دقیق تری را در ورودی های خود ، مانند الگوهای تمرینی کارمندان ، نوسانات ، سود سهام و نرخ بهره ، در خود جای دهد. به عنوان مثال ، یک پیش بینی مدل شبکه می تواند شامل تخمین های متعدد برای تاریخ های ورزش در هر دوره فرعی از زندگی یک گزینه باشد. با استفاده از ورودی های متعدد به جای یک ورودی واحد ، مقدار منصفانه تولید شده توسط مدل شبکه قادر به دقیق تر است.

اگرچه مدل های شبکه می توانند دقیق تر باشند ، اما ارزش منصفانه ای که از مدل شبکه حاصل می شود ممکن است با ارزش منصفانه تولید شده توسط مدل سیاه اسکولز تفاوت معنی داری نداشته باشد. PWC خاطرنشان می کند که "انواع ساده تر از مدل های شبکه همیشه نتیجه ای حاصل نمی کنند که قابل مقایسه با نتایج مدل های شبکه پیچیده تر هستند. بشربشردر حقیقت ، مدل های شبکه بسیار ساده ممکن است نسبت به مدل سیاه اسکول ها با فرضیات ساده اما پشتیبانی شده قابل اعتماد تر باشند. "به عنوان مثال ، اگر تغییر شرایط باعث شود داده های تاریخی برای الگوهای ورزش آینده بی ربط نباشند ، ممکن است یک مدل مشبک مفید نباشد. بنابراین ، شرکت ها باید اطمینان حاصل کنند که مدلی که استفاده می کنند به خوبی پشتیبانی می شوند ، قبل از استفاده از هر مدل ، مزایا و مضرات هر مدل را وزن می کنند.

نتیجه

تعیین یک تخمین قابل پشتیبانی از ارزش گزینه سهام به یک شرکت کمک می کند تا به درستی جبران سهام خود را در نظر بگیرد. داده های مربوط به بازار مربوطه ، می توان مقدار گزینه سهام را با استفاده از یک مدل با فرم بسته ، مانند مدل سیاه اسکولز یا یک مدل شبکه ، تخمین زد. درک و وزن دادن به مزایا و هزینه های هر مدل به شرکت شما کمک می کند تا مدلی را انتخاب کند که تخمین دقیقی از ارزش یک گزینه ایجاد کند.

مقالات مرتبط

• گزینه های سهام 101
• استخرهای رقیق سازی و سهام
• ارزیابی 409a
• سهام ارزان قیمت

[crp limit="3" heading="1" cache="0"]>

منابع مشورت شده

• PWC: جبران خسارت مبتنی بر سهام
• ارزشمند ارزش: تخمین نوسانات قیمت سهام در مدل Black-Scholes-Merton
• DSB: شش ورودی به یک ارزیابی سیاه اسکولز