تعیین همگرایی (یا واگرایی) یک دنباله

اگر بگوییم که یک دنباله همگرا می شود ، به این معنی است که حد توالی به عنوان وجود دارد. n to infty. اگر حد توالی به عنوان. n to infty. وجود ندارد ، ما می گوییم که توالی متفاوت است.

یک دنباله همیشه همگرا یا واگرایی می کند ، گزینه دیگری وجود ندارد. این بدان معنا نیست که ما همیشه قادر خواهیم بود بگوییم که آیا دنباله همگرا می شود یا واگرایی می کند ، گاهی اوقات تعیین همگرایی یا واگرایی برای ما بسیار دشوار است.

روش های زیادی برای آزمایش دنباله ای برای دیدن همگرایی یا نه وجود دارد.

بعضی اوقات تنها کاری که باید انجام دهیم ارزیابی حد توالی در است. n to infty. اگر حد وجود داشته باشد ، دنباله همگرا می شود ، و پاسخی که پیدا کردیم مقدار حد است.

گاهی اوقات استفاده از قضیه فشار برای تعیین همگرایی راحت است زیرا نشان می دهد که آیا دنباله محدودیت دارد یا خیر ، بنابراین آیا این همگرایی است یا خیر. سپس ما برای به دست آوردن مقدار واقعی حد ، حد دنباله خود را می گیریم.

چگونه می توان تعیین کرد که آیا توالی همگرا می شود یا خیر

دوره را طی کنید

آیا می خواهید در مورد حساب 2 اطلاعات بیشتری کسب کنید؟من یک دوره گام به گام برای آن دارم.:)

تعیین همگرایی و سپس یافتن حد

مثال

بگویید که آیا دنباله همگرا می شود یا خیر ، اگر همگرایی انجام شود ، حد توالی را پیدا کنید.

به یاد داشته باشید ، هنگامی که یک دنباله همگرا می شود ، حد آن در وجود دارد. n to infty.

بیایید دنباله را با استفاده از قضیه Squeeze ارزیابی کنیم. ما با ارزیابی شماره ساز شروع خواهیم کرد. a_nبشر sin^2. ما می دانیم که عملکرد سینوسی بین وجود دارد.-1و1. بنابراین می توانیم این را بگوییم

ما همچنین می دانیم که وقتی عملکرد سینوسی مربع است ، فقط بین آن وجود دارد. 0. و. 1. بنابراین ما می توانیم نابرابری را برای گفتن آن تغییر دهیم

سرانجام ، ما می توانیم نابرابری فوق را ضرب کنیم. 1/3^n. برای مطابقت با دنباله اصلی ما.

اکنون ، ما دنباله اصلی خود را با دو مقدار محدود کرده ایم. وقتی ما حد مجاز را می گیریم. n to infty. بشر1/3^n. در سمت راست نابرابری نزدیک خواهد شد. 0

از آنجا که حد توالی با دو عدد واقعی محدود می شود ، این بدان معنی است که حد ما وجود دارد و دنباله ما همگرا می شود. سرانجام ، ما می توانیم با نزدیک شدن به بی نهایت ، دنباله خود را محدود کنیم.

جایی که . k. تعداد ثابت را نشان می دهد. 0. به. 1. که ما از نابرابری مشتق شده ایم. 0 le sin^2 le1. ما گرفتیم . Inftyدر مخرج به دلیل As. n to infty. بشر3^ن. نزدیک خواهد شد Inftyاز آنجا که ما در شماره ساز و یک مقدار بزرگ بی نهایت در مخرج ثابت داریم ، این را می دانیم

می توانیم نتیجه بگیریم که دنباله

همگرا و این حد آن به عنوان. n to infty. است . 0